Happy Tau Day 2025

《tau-manifesto》的 tldr 版本。

原文定义 $\tau =2\pi =6.283\cdots$，以取代现有圆周率$\pi$的地位，并列举了一些理由。除此之外，我也另外添加一个理由。

圆的定义

圆的定义是：

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这里的定长就是半径$r$，因此用$\frac{C}{r}$来定义圆周率，比起$\frac{C}{d}$来定义圆周率更为自然。

三角学

在弧度制中，一周被定义为$2\pi$、180°被定义为$\pi$，四分之一圆被定义为$\frac{\pi }{2}$，这是反直觉的。

如果定义$\tau =2\pi$，那么$\frac{\tau }{n}$就恰好对应了圆周的$\tau$分之一。与此同时，$\sin ,\cos ,\sec ,\csc$这些三角函数的周期也变成了$\tau$，看上去的确更加舒服。

积分

我们把圆切成大大小小的圆环，从内到外积分，我们有：

$$S={\int }_0^r{C}_r\mathrm{d}r=\tau r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\tau r^2$$

而在经典物理中经常出现这种带有$\frac{1}{2}{\mathrm{变}\mathrm{量}}^2$的公式，例如（积分过程省略）：

• 匀加速直线运动：$s=\frac{1}{2}v{t}^2$
  • 自由落体：$h=\frac{1}{2}g{t}^2$
• 胡克定律：$E=\frac{1}{2}k{x}^2$
• 动能：$K=\frac{1}{2}m{v}^2$

这种“二次型”的公式的求解方法都与积分相关，因此如果是使用$\tau$而不是$\pi$，你或许也能早几年独自推导出圆面积的积分公式。

正多边形的内外角和

虽然正多边形的内角和一定是$\pi$的倍数，但正多边形外角和却恒为$\tau$（并且任意简单闭环的曲率积分，其结果也是 $\tau$），因此 $\tau$ 仍然略胜一筹。

正多边形面积公式

我们设角心距为$1$的正$n$边形的面积为$A_n$，则：

$$A_n=n\sin \frac{\pi }{n}\cos \frac{\pi }{n}$$

但我们可以做倍角公式：

$$A_n=\frac{n}{2}\sin \frac{\tau }{n}$$

显然这个公式看上去比原来那个更简洁，并且跟上面那个积分公式一样带有了$\frac{1}{2}$这个常数，然后我们继续变形：

$$=\frac{\tau }{2}\frac{\sin \frac{\tau }{n}}{\frac{\tau }{n}}$$

此时你可以发现一个熟悉的 pattern：$\frac{\sin x}{x}$。然后我们将$n\to \mathrm{\infty }$，显然这个时候$A_{\mathrm{\infty }}$等于单位圆的面积，同时右边的话等于 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x$ 趋于 $0$ 处的极限，也就是 $1$。因此：

$$A_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\tau }{2}\frac{\sin \frac{\tau }{n}}{\frac{\tau }{n}}=\frac{\tau }{2}$$

刚好就是 $\frac{1}{2}\tau r^2$ 在 $r=1$ 时的值。

欧拉公式

我们知道欧拉公式的原型是：

$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$$

如果$x=\tau$，那么我们有：

$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\tau }=1$$

这比${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$更为简洁。

其他重要的公式

有许多经常用到的公式，例如：

极坐标积分公式：

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(r,\theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

正态分布函数：

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

傅里叶变换公式：

$$f(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(k)e^{2\pi ikx}\mathrm{d}k$$$$F(k)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi ikx}\mathrm{d}x$$

柯西积分公式：

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}\mathrm{d}z$$

单位根公式：

$$z^n=1\Rightarrow z={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}/n}$$

都带有$2\pi$这个常数，这说明$\tau$的确有其存在的价值。

n维单位超球体的表面积与体积

我们定义$n$维单位超球体是形如：

$$\sum _{i=1}^n{x}_i^2=1$$

这样的曲（线）面围成的封闭区域。表面积是对其边界（$\sum _{i=1}^n{x}_i^2=1$）的度量，而体积就是对其边界及内部区域（$\sum _{i=1}^n{x}_i^2\le 1$）的度量，因此：

其体积公式为：

$$V_n=\frac{{\sqrt{\pi }}^n}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n}{2})}$$

表面积公式为：

$$S_n=\frac{2{\sqrt{\pi }}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$$

首先 Gamma 函数本身是不平凡的，原作者认为这给公式带来了“简洁的假象”（这一点我持保留意见），将其换成了双阶乘的形式，并引入了一个额外的分类讨论：

$$V_n=\frac{{\tau }^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}{n!!}\times ((n\mathrm{\%}2)+1)$$$$S_n=\frac{{\tau }^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}{(n-2)!!}\times ((n\mathrm{\%}2)+1)$$

虽然这个分类讨论可以通过引入一个新的常量$\lambda =\frac{\tau }{4}$来抵消以形成：

$$V_n=\frac{2^n{\lambda }^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}{n!!}$$$$S_n=\frac{2^n{\lambda }^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}{(n-2)!!}$$

但这毕竟引入了一个额外的符号$\lambda$，似乎偏离了使用$\tau$来替代$\pi$的主题，这里暂且不谈。

只不过一个比较有趣的性质是，对于任意$n>2,n\in N_{+}$，都有：

$$\frac{V_n}{V_{n-2}}=\frac{\tau }{n}$$$$\frac{S_n}{S_{n-2}}=\frac{\tau }{n-2}$$

算是一个比较不错的结论——至少比用$\pi$做相应的递推看上去简单一个常数$2$。

n维空间的“圆周率”

原作者为了实锤$\pi =\frac{\tau }{2}$只是一个巧合，尝试将“圆周率”这一概念推广到$n$维。

推广的方式很简单，就是将$S_n$和$V_n$除掉半径$r=1$，让其成为两个无量纲的常数，分别记作${\tau }_n$（表面积常数族）和${\sigma }_n$（体积常数族）。

因此我们有：

$$S_n={\tau }_n{r}^{n-1},V_n={\sigma }_n{r}^n$$

而想象一下之前那个圆积分公式，我们有：

$$V_n(r)=\int S_n(r)\mathrm{d}r$$

因此：

$${\sigma }_n{r}^n=\frac{{\tau }_n}{n}{r}^n$$

即${\sigma }_n=\frac{{\tau }_n}{n}$，可以 check 一下之前的那个公式，这个等式确实是成立的。另外${\tau }_n$也可以当作“超弧度”来看待（原文为angle measure，虽然我目前没看到有啥实际用处）。

同样，作者也将$\pi =\frac{C}{D}$推广为${\pi }_n=\frac{S_n(r)}{D^{n-1}}$，因此可以化简为：

$${\pi }_n=\frac{S_n(r)}{D^{n-1}}=\frac{{\tau }_n{r}^{n-1}}{D^{n-1}}=\frac{{\tau }_n}{2^{n-1}}$$

因此作者认为$\pi ={\pi }_2=\frac{{\tau }_2}{2}$只是一个巧合罢了，因为只有在$n=2$时$2^{n-1}$才为$2$。

τ^2 不等于 g

在历史的某段时间，${\pi }^2$在数值上是等于重力加速度$g$的。在 1668 年，约翰·威尔金斯提出了米的定义：单摆周期为2秒中单摆的长度为1米。但因为$g$在地球的不同地区数值不同，因此这一定义最后遭到了废弃。

如果那个时候流行的不是$\pi$而是$\tau$，估计现在也不会有人纠结 ${\pi }^2=g$ 是不是一个巧合了。