Happy Tau Day 2025

《tau-manifesto》的 tldr 版本。

原文定义 $τ = 2 π = 6.283 \dots$ ，以取代现有圆周率 $π$ 的地位，并列举了一些理由。除此之外，我也另外添加一个理由。

圆的定义

圆的定义是：

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这里的定长就是半径 $r$ ，因此用 $\frac{C}{r}$ 来定义圆周率，比起 $\frac{C}{d}$ 来定义圆周率更为自然。

三角学

在弧度制中，一周被定义为 $2 π$ 、180°被定义为 $π$ ，四分之一圆被定义为 $\frac{π}{2}$ ，这是反直觉的。

如果定义 $τ = 2 π$ ，那么 $\frac{τ}{n}$ 就恰好对应了圆周的 $τ$ 分之一。与此同时， $\sin, \cos, \sec, \csc$ 这些三角函数的周期也变成了 $τ$ ，看上去的确更加舒服。

积分

我们把圆切成大大小小的圆环，从内到外积分，我们有：

S = \int_{0}^{r} C_{r} d r = τ r d r = \frac{1}{2} τ r^{2}

而在经典物理中经常出现这种带有 $\frac{1}{2} {变量}^{2}$ 的公式，例如（积分过程省略）：

匀加速直线运动： $s = \frac{1}{2} v t^{2}$
- 自由落体： $h = \frac{1}{2} g t^{2}$
胡克定律： $E = \frac{1}{2} k x^{2}$
动能： $K = \frac{1}{2} m v^{2}$

这种“二次型”的公式的求解方法都与积分相关，因此如果是使用 $τ$ 而不是 $π$ ，你或许也能早几年独自推导出圆面积的积分公式。

正多边形的内外角和

虽然正多边形的内角和一定是 $π$ 的倍数，但正多边形外角和却恒为 $τ$ （并且任意简单闭环的曲率积分，其结果也是 $τ$ ），因此 $τ$ 仍然略胜一筹。

正多边形面积公式

我们设角心距为 $1$ 的正 $n$ 边形的面积为 $A_{n}$ ，则：

A_{n} = n \sin \frac{π}{n} \cos \frac{π}{n}

但我们可以做倍角公式：

A_{n} = \frac{n}{2} \sin \frac{τ}{n}

显然这个公式看上去比原来那个更简洁，并且跟上面那个积分公式一样带有了 $\frac{1}{2}$ 这个常数，然后我们继续变形：

= \frac{τ}{2} \frac{\sin \frac{τ}{n}}{\frac{τ}{n}}

此时你可以发现一个熟悉的 pattern： $\frac{\sin x}{x}$ 。然后我们将 $n \to \infty$ ，显然这个时候 $A_{\infty}$ 等于单位圆的面积，同时右边的话等于 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x$ 趋于 $0$ 处的极限，也就是 $1$ 。因此：

A_{\infty} = lim_{n \to \infty} \frac{τ}{2} \frac{\sin \frac{τ}{n}}{\frac{τ}{n}} = \frac{τ}{2}

刚好就是 $\frac{1}{2} τ r^{2}$ 在 $r = 1$ 时的值。

欧拉公式

我们知道欧拉公式的原型是：

e^{i x} = \cos x + i \sin x

如果 $x = τ$ ，那么我们有：

e^{i τ} = 1

这比 $e^{i π} = - 1$ 更为简洁。

其他重要的公式

有许多经常用到的公式，例如：

极坐标积分公式：

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} f (r, θ) r d r d θ

正态分布函数：

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

傅里叶变换公式：

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} F (k) e^{2 π i k x} d k

F (k) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i k x} d x

柯西积分公式：

f (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{γ} \frac{f (z)}{z - a} d z

单位根公式：

z^{n} = 1 \Rightarrow z = e^{2 π i / n}

都带有 $2 π$ 这个常数，这说明 $τ$ 的确有其存在的价值。

n维单位超球体的表面积与体积

我们定义 $n$ 维单位超球体是形如：

\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 1

这样的曲（线）面围成的封闭区域。表面积是对其边界（ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = 1$ ）的度量，而体积就是对其边界及内部区域（ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \leq 1$ ）的度量，因此：

其体积公式为：

V_{n} = \frac{{\sqrt{π}}^{n}}{Γ (1 + \frac{n}{2})}

表面积公式为：

S_{n} = \frac{2 {\sqrt{π}}^{n}}{Γ (\frac{n}{2})}

首先 Gamma 函数本身是不平凡的，原作者认为这给公式带来了“简洁的假象”（这一点我持保留意见），将其换成了双阶乘的形式，并引入了一个额外的分类讨论：

V_{n} = \frac{τ^{⌊ \frac{n}{2} ⌋}}{n!!} \times ((n % 2) + 1)

S_{n} = \frac{τ^{⌊ \frac{n}{2} ⌋}}{(n - 2)!!} \times ((n % 2) + 1)

虽然这个分类讨论可以通过引入一个新的常量 $λ = \frac{τ}{4}$ 来抵消以形成：
$V_{n} = \frac{2^{n} λ^{⌊ \frac{n}{2} ⌋}}{n!!}$ $S_{n} = \frac{2^{n} λ^{⌊ \frac{n}{2} ⌋}}{(n - 2)!!}$
但这毕竟引入了一个额外的符号 $λ$ ，似乎偏离了使用 $τ$ 来替代 $π$ 的主题，这里暂且不谈。

只不过一个比较有趣的性质是，对于任意 $n > 2, n \in N_{+}$ ，都有：

\frac{V_{n}}{V_{n - 2}} = \frac{τ}{n}

\frac{S_{n}}{S_{n - 2}} = \frac{τ}{n - 2}

算是一个比较不错的结论——至少比用 $π$ 做相应的递推看上去简单一个常数 $2$ 。

n维空间的“圆周率”

原作者为了实锤 $π = \frac{τ}{2}$ 只是一个巧合，尝试将“圆周率”这一概念推广到 $n$ 维。

推广的方式很简单，就是将 $S_{n}$ 和 $V_{n}$ 除掉半径 $r = 1$ ，让其成为两个无量纲的常数，分别记作 $τ_{n}$ （表面积常数族）和 $σ_{n}$ （体积常数族）。

因此我们有：

S_{n} = τ_{n} r^{n - 1}, V_{n} = σ_{n} r^{n}

而想象一下之前那个圆积分公式，我们有：

V_{n} (r) = \int S_{n} (r) d r

因此：

σ_{n} r^{n} = \frac{τ_{n}}{n} r^{n}

即 $σ_{n} = \frac{τ_{n}}{n}$ ，可以 check 一下之前的那个公式，这个等式确实是成立的。另外 $τ_{n}$ 也可以当作“超弧度”来看待（原文为angle measure，虽然我目前没看到有啥实际用处）。

同样，作者也将 $π = \frac{C}{D}$ 推广为 $π_{n} = \frac{S_{n} (r)}{D^{n - 1}}$ ，因此可以化简为：

π_{n} = \frac{S_{n} (r)}{D^{n - 1}} = \frac{τ_{n} r^{n - 1}}{D^{n - 1}} = \frac{τ_{n}}{2^{n - 1}}

因此作者认为 $π = π_{2} = \frac{τ_{2}}{2}$ 只是一个巧合罢了，因为只有在 $n = 2$ 时 $2^{n - 1}$ 才为 $2$ 。

τ^2 不等于 g

在历史的某段时间， $π^{2}$ 在数值上是等于重力加速度 $g$ 的。在 1668 年，约翰·威尔金斯提出了米的定义：单摆周期为2秒中单摆的长度为1米。但因为 $g$ 在地球的不同地区数值不同，因此这一定义最后遭到了废弃。

如果那个时候流行的不是 $π$ 而是 $τ$ ，估计现在也不会有人纠结 $π^{2} = g$ 是不是一个巧合了。