Happy Tau Day 2025

《tau-manifesto》的 tldr 版本。

原文定义 ，以取代现有圆周率的地位，并列举了一些理由。除此之外，我也另外添加一个理由。

圆的定义

圆的定义是：

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这里的定长就是半径，因此用来定义圆周率，比起来定义圆周率更为自然。

三角学

在弧度制中，一周被定义为、180°被定义为，四分之一圆被定义为，这是反直觉的。

如果定义，那么就恰好对应了圆周的分之一。与此同时，这些三角函数的周期也变成了，看上去的确更加舒服。

积分

我们把圆切成大大小小的圆环，从内到外积分，我们有：

而在经典物理中经常出现这种带有的公式，例如（积分过程省略）：

• 匀加速直线运动：
  • 自由落体：
• 胡克定律：
• 动能：

这种“二次型”的公式的求解方法都与积分相关，因此如果是使用而不是，你或许也能早几年独自推导出圆面积的积分公式。

正多边形的内外角和

虽然正多边形的内角和一定是的倍数，但正多边形外角和却恒为（并且任意简单闭环的曲率积分，其结果也是 ），因此 仍然略胜一筹。

正多边形面积公式

我们设角心距为的正边形的面积为，则：

但我们可以做倍角公式：

显然这个公式看上去比原来那个更简洁，并且跟上面那个积分公式一样带有了这个常数，然后我们继续变形：

此时你可以发现一个熟悉的 pattern：。然后我们将，显然这个时候等于单位圆的面积，同时右边的话等于 在 趋于 处的极限，也就是 。因此：

刚好就是 在 时的值。

欧拉公式

我们知道欧拉公式的原型是：

如果，那么我们有：

这比更为简洁。

其他重要的公式

有许多经常用到的公式，例如：

极坐标积分公式：

正态分布函数：

傅里叶变换公式：

柯西积分公式：

单位根公式：

都带有这个常数，这说明的确有其存在的价值。

n维单位超球体的表面积与体积

我们定义维单位超球体是形如：

这样的曲（线）面围成的封闭区域。表面积是对其边界（）的度量，而体积就是对其边界及内部区域（）的度量，因此：

其体积公式为：

表面积公式为：

首先 Gamma 函数本身是不平凡的，原作者认为这给公式带来了“简洁的假象”（这一点我持保留意见），将其换成了双阶乘的形式，并引入了一个额外的分类讨论：

虽然这个分类讨论可以通过引入一个新的常量来抵消以形成：

但这毕竟引入了一个额外的符号，似乎偏离了使用来替代的主题，这里暂且不谈。

只不过一个比较有趣的性质是，对于任意，都有：

算是一个比较不错的结论——至少比用做相应的递推看上去简单一个常数。

n维空间的“圆周率”

原作者为了实锤只是一个巧合，尝试将“圆周率”这一概念推广到维。

推广的方式很简单，就是将和除掉半径，让其成为两个无量纲的常数，分别记作（表面积常数族）和（体积常数族）。

因此我们有：

而想象一下之前那个圆积分公式，我们有：

因此：

即，可以 check 一下之前的那个公式，这个等式确实是成立的。另外也可以当作“超弧度”来看待（原文为angle measure，虽然我目前没看到有啥实际用处）。

同样，作者也将推广为，因此可以化简为：

因此作者认为只是一个巧合罢了，因为只有在时才为。

τ^2 不等于 g

在历史的某段时间，在数值上是等于重力加速度的。在 1668 年，约翰·威尔金斯提出了米的定义：单摆周期为2秒中单摆的长度为1米。但因为在地球的不同地区数值不同，因此这一定义最后遭到了废弃。

如果那个时候流行的不是而是，估计现在也不会有人纠结 是不是一个巧合了。